立方根

Q.
 立方根の求め方を教えてください。
A.
 正の数aの立方根の近似値は,a^(1/3)で求めることができます。
しかし,BASICの計算では1/3は誤差を持つので,aの立方根をa^(1/3)で計算すると誤差を含みます。
十進BASICでは1/3の計算結果は 0.333333333333333333333333333 となるので,1/3が持つ計算誤差は 0.333…×10-17です。
f(x)=ax のとき,f ' (x)=axloga なので,誤差は,およそ
a1/3a0.333333333333333333333333333≒a1/3log a×0.333…×10-17
となり,log a > 3 で相対誤差が10-17を超えます。 つまり,a>20 だと誤差を無視できなくなります。
一方,a≦1E99(MAXNUM)のとき相対誤差は10-15を超えないので近似計算としては十分な精度があるともいえます。
なお,15桁以内の自然数nが立方数かどうかの判定は,n=ROUND(n^(1/3), 0)^3 で行えます。
なぜかというと,n<1016のとき,n1/3logn×0.333…×10-17は1に比べれば十分に小さいからです。

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